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简介

多项式承诺是一种实用性比较强的密码学承诺方案，允许一个方（承诺者）向另一个方（验证者）承诺一个多项式的值，而不泄露多项式的具体形式。在零知识证明、可验证密码共享等领域有广泛应用，常见的多项式承诺有Kate多项式承诺、FRI多项式承诺，IPA多项式承诺等。本文将重点介绍 Kate多项式承诺 的构造和应用。

在阅读下文之前，了解基础的密码学承诺原理和应用是非常有必要的，读者可以参考以下几篇文章：
《密码学承诺之原理和应用 - 概览》
《密码学承诺zhi原理和应用 - Sigma承诺》
《密码学承诺之原理和应用 - Pedersen承诺》

前言

多项式

在详细介绍Kate多项式承诺之前，我们先来简单介绍一下多项式的基本概念。多项式一般表示为：

上述多项式中， \(a_0, a_1, a_2, ..., a_d\) 是 多项式系数 ， \(x\) 是多项式的变量， \(d\) 是多项式的次数(或多项式的度)。多项式的次数是指多项式中最高次幂的指数，例如上述多项式的次数为 \(t\) ,因此上述 \(f(x)\) 我们也称作d 次多项式 。多项式系数 \(a_0, a_1, a_2, ..., a_d\) 是多项式的重要组成部分，它们决定了多项式的形状和性质，也是需要保护的重要信息。

多项式的值 是指将变量x代入多项式后的结果，例如 \(f(\beta)\) 表示将 \(x=\beta\) 代入多项式中，计算出的结果。

多项式的根 是指多项式的值为0的点，即 \(f(x) = 0\) 的点。

多项式有两个重要的性质：

• 一元n次多项式 最多有n个根 ，假设根为 \(\beta_1, \beta_2, ..., \beta_d\) ，则多项式可以表示为： \(f(x) = (x-\beta_1)(x-\beta_2)...(x-\beta_d)\)
• 商多项式 ，多项式减去在某一个点的多项式值(如点：< \(a, f(a)\) >), 可以被另一个多项式整除，这个多项式称为 商多项式 。商多项式表示为 \(h(x) = \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\)

注：在零知识证明中，通常会将要证明的问题转化为多项式表达，并通过多项式与商多项式的等式关系来进行证明。

双线性映射

在多项式承诺验证中，会用到双线性映射的概念。 双线性映射 （Bilinear Map）是数学中一种重要的映射，尤其在密码学和数论中有广泛的应用。它是一种特殊的函数，具有以下性质：

定义

设 \(G\) 是一个乘法循环群, \(g\) 是一个生成元, \(G_T\) 是另一个群。一个映射 \(e: G \times G \rightarrow G_T\) 被称为双线性映射，如果满足以下条件：

• 双线性 ：对于任意的 \(a, b \in Z_p\) 和 \(g, h \in G\) ，有 \(e(g^a, h^b) = e(g, h)^{ab}\)
• 非退化性 ：对于任意的 \(g \in G\) ， \(e(g, g) \neq 1\)
• 可计算性 ：对于任意的 \(g, h \in G\) ， \(e(g, h)\) 可以在多项式时间内计算

重要性质 ：

• 可交换性：对于任意的 \(g, h \in G\) ， \(e(g, h) = e(h, g)\)
• 分配性：对于任意的 \(g, h1, h2 \in G\) ， \(e(g, h1 \cdot h2) = e(g, h1) \cdot e(g, h2)\)
• \(e(g, g)为G_T\) 的一个生成元

多项式承诺

多项式承诺主要流程如下：

• [00] Setup初始化阶段 ：承诺者和验证者共享公共参考串CRS
  • CRS：common reference string，是一个公开的字符串，一般通过可信的第三方生成，用于多项式承诺的构造
• [01] Commit承诺阶段 ：承诺者计算多项式承诺 \(C = Commit(CRS, f(α))\) ，并发送 \(C\) 给验证者。
  • C的计算依赖于多项式 \(f(x)\) 和公共参考串CRS
  • 注在多项式承诺中，多项式的度需要满足 \(d \leq t\) ，其中 \(t\) 是公共参考串中的最高幂次
• [02] Open打开阶段 ：承诺者揭示多项式 \(f(x)\)
  • f(x)是多项式的具体形式，承诺者直接揭示多项式 \(f(x)\) ，如多项式参数和系数
• [03] VerifyPoly验证阶段 ：验证者重新计算多项式承诺 \(C^{'} = Commit(CRS, f(α))\)
  • 验证者重新计算多项式承诺 \(C^{'}\) ，并验证 \(C^{'}\) 和 \(C\) 是否相等

以上方式的多项式承诺打开阶段是明文揭示，即承诺者直接揭示多项式 \(f(x)\) ，验证者重新计算多项式承诺 \(C^{'} = Commit(CRS, f(x))\) ，并验证 \(C^{'}\) 和 \(C\) 是否相等。
明文揭示的方式简单直接，但存在以下问题：

• 多项式阶数较高时，明文揭示的方式会导致通信量较大
• 明文揭示的方式无法保护多项式，必须公开

Kate多项式承诺

为了解决 明文揭示 多项式承诺存在的问题，Kate多项式承诺基于多项式 点打开 的方式，实现了多项式的承诺和验证。 点打开 方式指的是承诺者不直接揭示多项式 \(f(x)\) ，而是揭示多项式在某个点的值 \(f(β)\) ，并提供一个 witness 证明，验证者通过双线性映射验证多项式在β点的值是否正确。通过点打开的方式，Kate多项式承诺解决了明文揭示的问题，同时保护了多项式的隐私。

Kate多项式承诺的构造一般有两种方案，两种方案在安全性上有所不同：

• 计算隐藏的Kate多项式承诺 ：承诺的值在计算上是隐藏的，意味着对于任何多项式时间的攻击者，无法有效区分两个不同的承诺。换句话说，攻击者在计算上无法从承诺中推断出承诺的内容。
• 无条件隐藏的Kate多项式承诺 ：承诺的值在计算上是无条件隐藏的，意味着对于任何攻击者，无法从承诺中推断出承诺的内容。

定义上比较抽象，简单来说就是无条件隐藏通过引入随机性，使得承诺的值在计算上无法被推断出来，而计算隐藏仅使用离散对数困难性假设，使得承诺的值在计算上无法被推断出来。

计算隐藏的Kate多项式承诺

计算隐藏的Kate多项式承诺的构造如下:

[00] Setup初始化阶段

Kate多项式承诺需要初始化阶段，主要是生成和公开CRS，以及双线性映射 \(e: G \times G \rightarrow G_T\) 。在Kate多项式承诺中CRS如下：

其中， \(G\) 代表乘法群， \(g\) 是 \(G\) 的一个生成元， \(α\) 是一个随机数， \(t\) 是最高幂次。注：在零知识证明中， \(α\) 是一个私密的值，不会公开，需要被安全销毁（通常被称为有毒废料）。

注：在Kate论文中，CRS被叫做PK，即公钥。

[01] Commit承诺阶段

承诺者计算多项式的承诺值 \(C = Commit(CRS, f(x))\) ，并发送 \(C\) 给验证者。多项式的承诺值计算方式如下：

• \(a_i\) 是多项式的系数, 承诺者已知
• CRS是公共参考串，CRS中包含了 \(g^{α^i}\) 的值，因此承诺者可以在不知道 \(α\) 的情况下计算 \(C\)

[02] CreateWitness点打开阶段

承诺者计算多项式在某个点的值 \(f(β)\) ，并提供一个witness证明 \(w\) ，其中 \(w\) 是多项式在β点的承诺，计算方式如下：

• 首先计算商多项式

• 计算 \(f(x)\) 在β点的值

• 计算商多项式在α点的承诺值

承诺者将 \((β, f(β), w)\) 发送给验证者。

[03] VerifyEval点验证阶段

验证者使用双线性映射验证多项式在β点的打开值是否正确，验证方式如下：

正确性验证：

根据商多项式的定义，有： \(f(α) - f(β) = φ(α) \cdot (α-β)\) ，因此：

因此， \(e(C, g) = e(w, g^{α}/g^{β}) \cdot e(g, g)^{f(β)}\) ，验证通过。

无条件隐藏的Kate多项式承诺

无条件隐藏的Kate多项式承诺构造与计算隐藏的Kate多项式承诺流程类似，区别在于：

• 初始化阶段的CRS不同
• 承诺值的生成和验证方式不同（承诺值生成基于Pedersen承诺）

初始化阶段

CRS的构造如下：

其中， \(h\) 是 \(G\) 的另一个生成元。

Commit承诺阶段

承诺者计算多项式的承诺值 \(C = Commit(CRS, f(x))\) ，计算方式如下：

CreateWitness点打开阶段

承诺者计算多项式在某个点的值 \(f(β)\) ，并提供一个witness证明 \(w\) ，计算方式如下：

• 计算商多项式

• 计算点打开值

\(g^{φ(α)}\) 和 \(h^{\hat{φ(α)}}\) 计算方式基于CRS（方式与上文相同，略），承诺者将 \((β, f(β), \hat{f(β)}, w)\) 发送给验证者。

VerifyEval点验证阶段

验证者使用双线性映射验证多项式在β点的打开值是否正确，验证方式如下：

正确性验证：

\(h\) 是 \(G\) 中的一个群元素，因此不是一般性可设 \(h = g^\lambda\) ，其中 \(\lambda\) 是一个随机数。因此：

根据商多项式的定义，有： \(f(α) - f(β) = φ(α) \cdot (α-β)\) ， \(\hat{f(α)} - \hat{f(β)} = \hat{φ(α)} \cdot (α-β)\) ，因此：

因此， \(e(C, g) = e(w, g^{α}/g^{β}) \cdot e(g^{f(β)} \cdot h^{\hat{f(β)}}, g)\) ，验证通过。

结语

Kate多项式承诺是一种实用性比较强的多项式承诺方案，通过点打开的方式，可以在保护多项式隐私的同时，有效减少通信量。Kate多项式承诺在零知识证明、可验证密码共享等领域有广泛应用。了解Kate多项式承诺的原理和构造，对于学习zk-snarks、zk-starks等零知识证明协议是非常有帮助的。通过本文的介绍，希望读者能够对Kate多项式承诺有一个初步的了解，并为进一步学习零知识证明协议打下基础。

参考文献

• 【1】 Polynomial Commitment
• 【2】 Non-interactive zero-knowledge proof
• 【3】 Commitment_scheme